Introduction a la theorie des vibrations

RESUME
Les structures de batiments peuvent etre soumises a des vibrations causees par des rafales de vent, des mouvements du sol dus aux seismes, des ondes de pression dues aux explosions, etc pendant une periode determinee. Les batiments doivent etre concus de maniere a resister a l'influence de ces charges externes. Les structures viables sont generalement concues de maniere a transmettre surement les charges verticales (charges mortes) et les charges laterales aux fondations. Les vibrations mentionees plus haut sont causees par des charges laterales dynamiques et les structures doivent etre concues en tenant compte de ces dernieres.

Pour bien comprendre certaines notions relatives a la theorie des vibrations on va utiliser un pendule. Ce dernier est constitue d'un poids suspendu a un fil bien tendu. En relachant le pendule de sa position initiale il opere un mouvement de va-et-vient. Ce mouvement de va-et-vient s'appelle oscillation. La periode mise par le pendule pour accomplir ce mouvement d'oscillation s'appelle periode naturelle du pendule. Les structures ont des personnalites comme les humains et les caracteristiques personnelles des structures s'appellent periodes naturelles dans le langage de la theorie des vibrations. Des caracteristiques communes peuvent etre atttribuees aux elements structurels d'un groupe de structures tout comme cela se fait pour les elements d'un groupe humain. Ainsi les structures hautes et compactes ayant leur periode naturelle longue sont considerees plus flexibles. Les structures basses et larges ayant leur periode naturelle courte sont plus rigides. Un poste de radio ne peut capter que des signaux dont la frequence correspond a celle de son oscillateur interne. Ce phenomene s'appelle resonance. Ce meme phenomene survient aussi lorsque la periode naturelle d'un element structurel coincide avec la periode de temps de la charge dynamique a laquelle cet element est soumis. Dans ce cas la structure experimente des vibrations considerables auxquelles elle ne survivrait pas si elle n'etait pas concue de maniere a parer a ces eventualites. La presentation suivante presente l'essentiel des concepts de base de la dynamique des structures.
    
INTRODUCTION

Les vibrations d'objets sont causees par le mouvement de certaines de ses parties. Elles sont ordinairement imperceptibles a moins d'etre accompagnees par des sons. Il en est de meme des vibrations des  structures de batiments. Leurs vibrations ne sont perceptibles que lorsqu'elles sont atteintes par des rafales de vent, des mouvements du sol dus aux seismes, des ondes de pression dues aux explosions. le mouvement cause par l'operation de machines lourdes, etc. La reponse vibratoire des structures a ces stimuli externes joue un role important dans la conception des batiments.

Etant donne que les circonstances mentionnees plus haut arrivent durant une periode determinee et pas souvent on a tendance a penser qu'elles n'arriveraient pas durant l'existence de la sructure. Cependant des desastres peuvent etre evites si l'on adopte des mesures appropriees par une augmentation des depenses de la construction. Le premier pas a faire en vue de l'etablissement d'une structure resistante  reside dans la comprehension des charges dynamiques et le but essentiel d'une structure. Ce but se realise dans la capacite de cette derniere a pouvoir transmettre les charges externes aux fondations. Une structure a la capacite naturelle de transmettre surement les charges verticales ou charges de gravite (charges mortes). Cependant il est imperatif de concevoir la structure de maniere a pouvoir transmettre les charges horizontales ou laterales aux fondations. Les charges dynamiques sont ordinairement orientees dans trois directions orthogonales. Le transfer des charges verticales etant disponible naturellement, la capacite pour une structure de transmettre les charges laterales est vitale pour la survie de cette derniere lorsqu'elle est soumisse aux mouvements desastreux.

Les considerations de la conception des structures relatives aux charges laterales sont les memes pour la conception relative aux vibrations causees par les charges laterales dynamiques. Le seul facteur additionnel est la consideration des principes physiques fondamentaux du mouvement vibratoire pour estimer les grandeurs maximales des forces et la reponse des structures a ces forces. Specifiquement le principe fondamental de la conservation de l'energie et les lois de Newton constituent les pilliers d'une etude analytique du probleme vibratoire. Le probleme vibratoire doit etre analyse de maniere qualitative en evitant toute formulation analytique.

 Les structures considerees comme des personnalites!


Le pendule est le systeme vibratoire le plus simplw qui puisse exister. Il est constitue d'un poids attache a un fil. Le fil tendu, le pendule est mis en mouvement vibratoire en le relachant de l'une de ses positions extremes. Le pendule va de sa position initiale a sa position mediane puis a l'autre position extreme. Il fait le parcours inverse pour revenir a sa position premiere. Ce parcours de va-et-vient s'appelle oscillation. Le temps mis pour accomplir ce parcours s'appelle periode naturelle du  pendule. Dans la position initiale du pendule l'energie potentielle du poids suspendu au fil est a son maximum alors que son energie cinetique est nulle. Dans la position mediane l'energie cinetique est maximale alors que l'energie potentielle est nulle. Cet echange sous forme d'energie se produit durant la periode d'oscillation.

Les structures ont des caracteristiques personnelles comme les humains. Dans le langage de la theorie des structures ces caracteristiques s'appellent periodes naturelles. Des caracteristiques communes peuvent etre attribuees a un groupe d'elements structurels tout comme des caracteristiques communes sont attribuees a des humains. Ainsi les structures hautes et compactes sont considerees plus flexibles. Leur periode naturelle est plus longue. Les structures basses et larges sont rigides. Leur periode naturelle est courte. Le couplage des periodes naturelles avec les caracteristiques  d'une structure met en evidence  le changement des caracteristiques dynamiques  relativement a la configuration, le plan et l'elevation de la structure, Si l'on ne peut eviter le couplage de differentes formes de structures avec leur periode naturelle il est important de considerer les caracteristiques dynamiques dans les calculs.

Les traits de personnalite et la reponse a un stimulus externe 


Les reponses individuelles a un stimulus externe varient avec les caracteristiques personnelles. Les reponses des structures a une charge dynamique varient avec leur periode naturelle, leurs caracteristiques dynamiques, etc. Le fait de tourner un poste de radio vers une station de diffusion est un acte de resonance.  Les caracteristiques dynamiques du poste de radio sont donc modifiees par l'intermediaire du bouton de radio de telle sorte que l'oscillateur interne puisse capter les frequences des signaux emis par la station de diffusion. Cette situation represente le cas de l'oscillateur du recepteur devenu excite par les signaux de la meme frequence que celle de l'oscillateur resultant dans une amplification a grande echelle du signal arrivant. Les signaux emis par d'autres stations de radio de diffusion sont aussi presents mais le recepteur n'entend que les signaux ayant la meme frequence que celle du recepteur. Les signaux d'autres stations de radio ne sont pas amplifies etant donne que la receptivite du recepteur pour ces signaux est tres basse.

La situation d'un systeme structurel soumise a des charges dynamiques est tout a fait similaire a celle d'un recepteur de radio. La figure 4 (reference document anglais) montre trois systemes structurels avec des periodes naturelles differentes excites par une charge dynamique identique. La condition de resonance survient si la periode naturelle (Ti) du systeme structurel coincide avec la periode de temps (T) de l'excitation. Dans ce cas les structures avec la meme periode naturelle experimenteraient probablement des vibrations de grande amplitude et ne survivraient pas de ces vibrations a moins d'etre concues pour parer a de telles eventualites. La reponse d'autres structures avec des periodes naturelles surement enlevees de la periode de temps n'est pas alarmante puisque la receptivite de ces structures a la frequence 1/T de la charge appliquee est relativement basse.

Evaluation rapide de la reponse

L'excitation dynamique vue dans la figure 4 (reference document anlais) ne contient qu'une representation d'onde de frequence 1/T. Generalement les charges dynamiques ont des composantes de plusieurs frequences. Naturellement la reponse de structures differentes avec des periodes naturelles differentes (ou des frequences) a des excitations dynamiques de plusieurs frequences sera aussi differente dependant de l'etendue de l'accord entre les pairs composes de periodes naturelles et de periodes de temps dans les charges dynamiques appliquees. Typiquement dans les mouvements de sol soumis a un tremblement de terre la frequence d'excitation dynamique peut varier de 0.5 a 25 hertz. Ainsi le calcul de la reponse maximale vibratoire d'un systeme structurel a l'excitation appliquee peut s'averer ennuyeux. La reponse d'un systeme structurel est gouvernee par plusieurs representations d'ondes de l'excitation (charge) appliquee avec des frequences dans le voisinage proche de la frequence naturelle du systeme structurel. La reponse maximale requise peut etre calculee routinierement en resolvant l'equation differentielle du mouvement pour le probleme de la vibration. Ceci peut se reveler un exercice ennuyeux en depit de sa rectitude. Dans le but de simplifier ce travail et pour une evaluation rapide de l'effet maximum d'une charge dynamique appliquee sur une structure un outil graphique connu sous le nom de spectre de reponse est utilise. Dans le developpement de cet outil, un ensemble de structures differentes (ou des oscillateurs avec des periodes naturelles (Ti) ) est choisi. La reponse de vibration pour chaque oscillateur est calculee pour la charge dynamique appliquee. La valeur maximale absolue de la reponse d'un oscillateur est representee par rapport a sa periode naturelle comme c'est represente dans la figure 5 (document anglais). La courbe resultant de la jonction  de la jonction de ces points sur le graphe est connue sous le nom de spectrum de reponse. Maintenant la reponse maximale de n'importe quelle structure avec une periode naturelle se trouvant sur la courbe peut etre lue facilement sur le graphe. La methode de spectre de reponse est tres convenable pour une estimation rapide de la reponse maximale d'un systeme structurel soumis a une excitation (ou charge dynamique) appliquee et est invariablement utilisee dans les calculs de conception preliminaires.

Epilogue

C'est une presentation extremement simplifiee des concepts basiques de la dynamique des structures concentrant sur l'essentiel seulement. Plusieurs elements importants compliquent l'analyse de la vibration actuelle et un traitement mathematique plus rigoureux est necessaire pour resoudre ces problemes. Il est toujours desirable de chercher une opinion experte sur le comportement dynamique des structures au stage de planification. Ceci pourrait conduire a des economies considerables au lieu de rendre la structure conforme a des niveaux de performance de vibration acceptable dans une periode ulterieure.

Document anglais
Introduction to the Theory of Vibrations