Introduction a la theorie des vibrations

RESUME
Les structures de batiments peuvent etre soumises a des vibrations causees par des rafales de vent, des mouvements du sol dus aux seismes, des ondes de pression dues aux explosions, etc pendant une periode determinee. Les batiments doivent etre concus de maniere a resister a l'influence de ces charges externes. Les structures viables sont generalement concues de maniere a transmettre surement les charges verticales (charges mortes) et les charges laterales aux fondations. Les vibrations mentionees plus haut sont causees par des charges laterales dynamiques et les structures doivent etre concues en tenant compte de ces dernieres.

Pour bien comprendre certaines notions relatives a la theorie des vibrations on va utiliser un pendule. Ce dernier est constitue d'un poids suspendu a un fil bien tendu. En relachant le pendule de sa position initiale il opere un mouvement de va-et-vient. Ce mouvement de va-et-vient s'appelle oscillation. La periode mise par le pendule pour accomplir ce mouvement d'oscillation s'appelle periode naturelle du pendule. Les structures ont des personnalites comme les humains et les caracteristiques personnelles des structures s'appellent periodes naturelles dans le langage de la theorie des vibrations. Des caracteristiques communes peuvent etre atttribuees aux elements structurels d'un groupe de structures tout comme cela se fait pour les elements d'un groupe humain. Ainsi les structures hautes et compactes ayant leur periode naturelle longue sont considerees plus flexibles. Les structures basses et larges ayant leur periode naturelle courte sont plus rigides. Un poste de radio ne peut capter que des signaux dont la frequence correspond a celle de son oscillateur interne. Ce phenomene s'appelle resonance. Ce meme phenomene survient aussi lorsque la periode naturelle d'un element structurel coincide avec la periode de temps de la charge dynamique a laquelle cet element est soumis. Dans ce cas la structure experimente des vibrations considerables auxquelles elle ne survivrait pas si elle n'etait pas concue de maniere a parer a ces eventualites. La presentation suivante presente l'essentiel des concepts de base de la dynamique des structures.
    
INTRODUCTION

Les vibrations d'objets sont causees par le mouvement de certaines de ses parties. Elles sont ordinairement imperceptibles a moins d'etre accompagnees par des sons. Il en est de meme des vibrations des  structures de batiments. Leurs vibrations ne sont perceptibles que lorsqu'elles sont atteintes par des rafales de vent, des mouvements du sol dus aux seismes, des ondes de pression dues aux explosions. le mouvement cause par l'operation de machines lourdes, etc. La reponse vibratoire des structures a ces stimuli externes joue un role important dans la conception des batiments.

Etant donne que les circonstances mentionnees plus haut arrivent durant une periode determinee et pas souvent on a tendance a penser qu'elles n'arriveraient pas durant l'existence de la sructure. Cependant des desastres peuvent etre evites si l'on adopte des mesures appropriees par une augmentation des depenses de la construction. Le premier pas a faire en vue de l'etablissement d'une structure resistante  reside dans la comprehension des charges dynamiques et le but essentiel d'une structure. Ce but se realise dans la capacite de cette derniere a pouvoir transmettre les charges externes aux fondations. Une structure a la capacite naturelle de transmettre surement les charges verticales ou charges de gravite (charges mortes). Cependant il est imperatif de concevoir la structure de maniere a pouvoir transmettre les charges horizontales ou laterales aux fondations. Les charges dynamiques sont ordinairement orientees dans trois directions orthogonales. Le transfer des charges verticales etant disponible naturellement, la capacite pour une structure de transmettre les charges laterales est vitale pour la survie de cette derniere lorsqu'elle est soumisse aux mouvements desastreux.

Les considerations de la conception des structures relatives aux charges laterales sont les memes pour la conception relative aux vibrations causees par les charges laterales dynamiques. Le seul facteur additionnel est la consideration des principes physiques fondamentaux du mouvement vibratoire pour estimer les grandeurs maximales des forces et la reponse des structures a ces forces. Specifiquement le principe fondamental de la conservation de l'energie et les lois de Newton constituent les pilliers d'une etude analytique du probleme vibratoire. Le probleme vibratoire doit etre analyse de maniere qualitative en evitant toute formulation analytique.

 Les structures considerees comme des personnalites!


Le pendule est le systeme vibratoire le plus simplw qui puisse exister. Il est constitue d'un poids attache a un fil. Le fil tendu, le pendule est mis en mouvement vibratoire en le relachant de l'une de ses positions extremes. Le pendule va de sa position initiale a sa position mediane puis a l'autre position extreme. Il fait le parcours inverse pour revenir a sa position premiere. Ce parcours de va-et-vient s'appelle oscillation. Le temps mis pour accomplir ce parcours s'appelle periode naturelle du  pendule. Dans la position initiale du pendule l'energie potentielle du poids suspendu au fil est a son maximum alors que son energie cinetique est nulle. Dans la position mediane l'energie cinetique est maximale alors que l'energie potentielle est nulle. Cet echange sous forme d'energie se produit durant la periode d'oscillation.

Les structures ont des caracteristiques personnelles comme les humains. Dans le langage de la theorie des structures ces caracteristiques s'appellent periodes naturelles. Des caracteristiques communes peuvent etre attribuees a un groupe d'elements structurels tout comme des caracteristiques communes sont attribuees a des humains. Ainsi les structures hautes et compactes sont considerees plus flexibles. Leur periode naturelle est plus longue. Les structures basses et larges sont rigides. Leur periode naturelle est courte. Le couplage des periodes naturelles avec les caracteristiques  d'une structure met en evidence  le changement des caracteristiques dynamiques  relativement a la configuration, le plan et l'elevation de la structure, Si l'on ne peut eviter le couplage de differentes formes de structures avec leur periode naturelle il est important de considerer les caracteristiques dynamiques dans les calculs.

Les traits de personnalite et la reponse a un stimulus externe 


Les reponses individuelles a un stimulus externe varient avec les caracteristiques personnelles. Les reponses des structures a une charge dynamique varient avec leur periode naturelle, leurs caracteristiques dynamiques, etc. Le fait de tourner un poste de radio vers une station de diffusion est un acte de resonance.  Les caracteristiques dynamiques du poste de radio sont donc modifiees par l'intermediaire du bouton de radio de telle sorte que l'oscillateur interne puisse capter les frequences des signaux emis par la station de diffusion. Cette situation represente le cas de l'oscillateur du recepteur devenu excite par les signaux de la meme frequence que celle de l'oscillateur resultant dans une amplification a grande echelle du signal arrivant. Les signaux emis par d'autres stations de radio de diffusion sont aussi presents mais le recepteur n'entend que les signaux ayant la meme frequence que celle du recepteur. Les signaux d'autres stations de radio ne sont pas amplifies etant donne que la receptivite du recepteur pour ces signaux est tres basse.

La situation d'un systeme structurel soumise a des charges dynamiques est tout a fait similaire a celle d'un recepteur de radio. La figure 4 (reference document anglais) montre trois systemes structurels avec des periodes naturelles differentes excites par une charge dynamique identique. La condition de resonance survient si la periode naturelle (Ti) du systeme structurel coincide avec la periode de temps (T) de l'excitation. Dans ce cas les structures avec la meme periode naturelle experimenteraient probablement des vibrations de grande amplitude et ne survivraient pas de ces vibrations a moins d'etre concues pour parer a de telles eventualites. La reponse d'autres structures avec des periodes naturelles surement enlevees de la periode de temps n'est pas alarmante puisque la receptivite de ces structures a la frequence 1/T de la charge appliquee est relativement basse.

Evaluation rapide de la reponse

L'excitation dynamique vue dans la figure 4 (reference document anlais) ne contient qu'une representation d'onde de frequence 1/T. Generalement les charges dynamiques ont des composantes de plusieurs frequences. Naturellement la reponse de structures differentes avec des periodes naturelles differentes (ou des frequences) a des excitations dynamiques de plusieurs frequences sera aussi differente dependant de l'etendue de l'accord entre les pairs composes de periodes naturelles et de periodes de temps dans les charges dynamiques appliquees. Typiquement dans les mouvements de sol soumis a un tremblement de terre la frequence d'excitation dynamique peut varier de 0.5 a 25 hertz. Ainsi le calcul de la reponse maximale vibratoire d'un systeme structurel a l'excitation appliquee peut s'averer ennuyeux. La reponse d'un systeme structurel est gouvernee par plusieurs representations d'ondes de l'excitation (charge) appliquee avec des frequences dans le voisinage proche de la frequence naturelle du systeme structurel. La reponse maximale requise peut etre calculee routinierement en resolvant l'equation differentielle du mouvement pour le probleme de la vibration. Ceci peut se reveler un exercice ennuyeux en depit de sa rectitude. Dans le but de simplifier ce travail et pour une evaluation rapide de l'effet maximum d'une charge dynamique appliquee sur une structure un outil graphique connu sous le nom de spectre de reponse est utilise. Dans le developpement de cet outil, un ensemble de structures differentes (ou des oscillateurs avec des periodes naturelles (Ti) ) est choisi. La reponse de vibration pour chaque oscillateur est calculee pour la charge dynamique appliquee. La valeur maximale absolue de la reponse d'un oscillateur est representee par rapport a sa periode naturelle comme c'est represente dans la figure 5 (document anglais). La courbe resultant de la jonction  de la jonction de ces points sur le graphe est connue sous le nom de spectrum de reponse. Maintenant la reponse maximale de n'importe quelle structure avec une periode naturelle se trouvant sur la courbe peut etre lue facilement sur le graphe. La methode de spectre de reponse est tres convenable pour une estimation rapide de la reponse maximale d'un systeme structurel soumis a une excitation (ou charge dynamique) appliquee et est invariablement utilisee dans les calculs de conception preliminaires.

Epilogue

C'est une presentation extremement simplifiee des concepts basiques de la dynamique des structures concentrant sur l'essentiel seulement. Plusieurs elements importants compliquent l'analyse de la vibration actuelle et un traitement mathematique plus rigoureux est necessaire pour resoudre ces problemes. Il est toujours desirable de chercher une opinion experte sur le comportement dynamique des structures au stage de planification. Ceci pourrait conduire a des economies considerables au lieu de rendre la structure conforme a des niveaux de performance de vibration acceptable dans une periode ulterieure.

Document anglais
Introduction to the Theory of Vibrations

Regles de calcul interimaire pour la construction des batiments: Categories de risques

Chaque batiment est associe a une categorie de risque basee sur l'usage prevu suivant les donnees empruntees au code CNBC [2}. Les charges specifiees telles gravite, vent, seisme, etc sont determineees a partir de la categorie de risque du batiment. Les codes recommandent differents coefficients suivant la categorie de risque a laquelle appartient le batiment. Le coefficient 1 est recommande pour les batiments de risque normal. Un coefficient inferieur a 1 est recommande pour les batiments a risque faible. Des coefficients superieurs a 1 sont prescrits pour les batiments de risque eleve et des coefficients encore plus eleves que ces derniers sont proposes  pour les batiments de protection civile.

On distingue  4 categories de rissque: faible, normal, eleve et protection civile. Les batiments de risque faible sont les batiments dont l'effondrement presente un risque faible de pertes de vies humaines. Examples: batiments de fermes, etables, etc. Les batiments de risque normal constituent les batiments qui n'appartiennent pas aux trois autres categories. Les batiments de risque eleve sont les batiments susceptibles d'etre utilises comme refuge de protection civile. Exemples: ecoles, centres communautaires. Les batiments de risque tres eleve representent les batiments de protection civile. Ils fournissent les soins essenitels en cas de catastrophe: hopitaux, centrales electriques et telephoniques, centres de pompage de l'eau potable, postes de pompiers, postes de police, stations de radios et de television, etc.

Lignes directrices pour une conception parasismique de batiments

Un séisme est une vibration de la surface de la terre par les vagues emergeant de la source de perturbation dans la terre en raison d'une libération d'énergie dans la croûte terrestre. Il s'agit essentiellement d'un mouvement brusque et passager ou d'une série de mouvements de la surface de la terre emanant d'un mouvement limité du a la perturbation de  l'équilibre élastique de la masse de terre et se repandant  dans toutes les directions.

MOTIFS DU NOMBRE ELEVE DE DEGATS

1) L'urbanisation est en augmentation rapide et en raison de l'augmentation du coût des terres, de nombreux bâtiments a plusieurs étages sont en cours de construction.

2) L'appliation du Code n'est pas obligatoire.

3) La construction en tant que telle est régie par les règlements municipaux .

4) Les dispositions sismiques ne sont pas incorporées.

5) Absence de procedures adequates de controle

6) Pas de controle  même pour la conception ordinaire simple.

LES LIGNES DIRECTRICES

Mouvement

Il est le déplacement maximum latéral de la structure par rapport a la hauteur totale ou au déplacement relatif entre les etages. L'indice global des mouvements est le rapport du déplacement maximal du toit à la hauteur de la structure et le mouvement entre les etages est le rapport de la différence maximale de déplacement latéral en haut et en bas de l'étage divisée par la hauteur de l'étage.
Des éléments non structurels et des elements non structurels sismiques deviennent endommagé en raison de la dérive. Plus la rigidité latérale est eleve moins est le nombre de dommages possibles. La dérive d'un étage a l'autre due a la force laterale minimale de conception specifique  avec facteur de sécurité partiel de l'unité ne doit pas dépasser 0,004 fois la hauteur de l'étage.
La séparation entre les unités adjacentes ou des bâtiments:
Deux bâtiments adjacents ou deux unités adjacentes d'un même bâtiment avec des joints de séparation doivent être séparés par une distance égale à la quantite R multipliee par la somme des déplacements d'etage  calculés ainsi spécifiés au-dessus de chacun d'eux pour éviter tout dommage de proximite lorsque les deux unités se deplacent l'un par rapport a l' autre.

Etage flexible

Un étage flexible est celui dans lequel la rigidité latérale est inférieure à 70% de celle de l' etage superieure ou inferieure a 80% de la rigidité latérale moyenne des trois étages superieures. Dans lecas de bâtiments avec un etage flexible tel l'etage de rez-de-chaussee contenant de espaces ouverts pour le parking des arrangements speciaux doivent etre faits pour augmenter la resistance laterale et la flexibilite de l'etage flexible.
Pour ces bâtiments, l'analyse dynamique est effectuée, y compris la force et la rigidité des effets de remplissages et les déformations inélastiques dans les membres en particulier ceux dans l' étage flexible et les membres  conçus en conséquence. Alternativement, les critères de conception suivants sont à adopter après la réalisation de l'analyse sismique en négligeant l'effet des murs de remplissage dans les autres étages.
Lorsque les niveaux de plancher de deux bâtiments adjacents sont au meme niveau d'altitude,le facteur R peut être pris comme R / 2.
a) Les colonnes et les poutres de l'étage flexible doivent être conçus a 2,5 fois le cisaillement de l'étage et des moments calculés sous des charges sismiques spécifiées.
b) Outre les colonnes conçues  pour le calcul du cisaillement et des momentse de l' étage et des moments, des murs de contreventement placés symétriquement dans les deux directions de l'immeuble le plus loin du centre de l'édifice que possible doivent être conçu exclusivement pour 1,25 fois le cisaillement latéral de l'etage calcule.

Fondation:

L'utilisation de fondations vulnérable aux tassements différentiels significatifs à cause de secousses du sol doit être évitée pour les structures dans certaines zones sismiques. Des semelles  réparties individuellement ou poteaux doivent être interconnectés avec des liens, sauf si les semelles étalées  individuelles sont directement prises en charge sur le roc. Tous les liens doivent être capables de supporter en traction et en compression une force axiale égale à Ah /A multipliee par la plus grande de la charge de la colonne ou du poteau en plus des  forces autrement calculées , où Ah est la valeur spectrale horizontale de conception
Projections:
a) les projections verticales:
Réservoirs, les parapets des tours, des cheminées et autres projections en porte à faux verticaux attachés aux bâtiments et projetant le toit superieur doivent être conçus et contrôlés pour une stabilité equivalente a 5 fois le coefficient Ah sismique horizontal de conception. Dans l'analyse de l'édifice, le poids de ces éléments en saillie seront regroupées avec le poids du toit.
b) les projections horizontales:
Toutes les projections horizontales comme les corniches et les balcons doivent être conçus et vérifiés pour une stabilité equivalente a 5 fois le coefficient vertical  de conception égal à 10 / 3 Ah. Ces forces de conception accrue soit pour la projection verticale ou horizontale de projection ne sont que pour la conception des parties saillantes et leur connexion avec les principales structures.
Cela signifie que pour la conception de la structure principale une telle augmentation n'a pas besoin d'être pris en considération.
Forme du bâtiment:
Bâtiments très minces doivent être évités. Des surplombs importants et des projections attirent les forces de tremblement de terre. Des masses lourdes, comme de grands réservoirs d'eau , etc, au sommet doivent être évitées. De petits réservoirs d'eau, s'ils sont fournis, devraient être correctement connectés avec le système d'encadrement. Les bâtiments devraient être suffisamment  eloignes de pentes abruptes. Ils devraient être construits sur le sol  rempli. L'assymétrie devrait être évitée car les batments subissent des forces de torsion et les coins extrêmes sont soumis à des forces sismiques très grandes.

Amortissement:

L'amortissement est la suppression de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle d'une structure vibrante  en vertu de laquelle l'amplitude des vibrations diminue régulièrement. Certaines vibrations sont dues au déplacement initial ou la vitesse initiale. En raison de l'amortissement, ces vibrations se decomposent en amplitude.
1. Quand il y a force harmonique appliquée et  sa période est presque égale à la période naturelle de la structure, la vibration va croître du déplacement et de la vitesse zero. L'amortissement  limite l'amplitude maximale des vibrations.
2. Plus l'amortissement est grand moins est l'amplitude.
3. L'amortissement négatif peut survenir tandi que la vibration est petite, suivie par l'amortissement positif aux grandes vibrations d'amplitude. Le code adopté pour la conception de bâtiments à plusieurs étages considerant des forces sismiques est IS 1893 (partie I) - 2002. Plus de 60% de surface de l'Inde est sujette au séisme. Selon IS 1893 (partie I) - 2002, l'Inde est divisée en plusieurs zones par rapport a leur ampleur d'intensité.
Traduit de l'anglais par Yves Simon, Educateur et Ingenieur Civil a partir des reglements de construction parasismique en Inde.
http://theconstructor.org/structural-engg/guidelines-for-earthquake-resistant-design/1704/

EARTHQUAKE RESISTANT TECHNIQUES

The conventional approach to earthquake resistant design of buildings depends upon providing the building with strength, stiffness and inelastic deformation capacity which are great enough to withstand a given level of earthquake-generated force. This is generally accomplished through the selection of an appropriate structural configuration and the careful detailing of structural members, such as beams and columns, and the connections between them.
But more advanced techniques for earthquake resistance is not to strengthen the building, but to reduce the earthquake-generated forces acting upon it.
Among the most important advanced techniques of earthquake resistant design and construction are:

• Base Isolation
• Energy Dissipation Devices

Base Isolation

A base isolated structure is supported by a series of bearing pads which are placed between the building and the building’s foundation. (See Figure 1.) A variety of different types of base isolation bearing pads have now been developed.
The bearing is very stiff and strong in the vertical direction, but flexible in the horizontal direction.

Earthquake Generated Forces

To get a basic idea of how base isolation works, examine Figure 2. This shows an earthquake acting on both a base isolated building and a conventional, fixed-base, building. As a result of an earthquake, the ground beneath each building begins to move. In Figure 2, it is shown moving to the left. Each building responds with movement which tends toward the right. The building undergoes displacement towards the right. The building’s displacement in the direction opposite the ground motion is actually due to inertia. The inertial forces acting on a building are the most important of all those generated during an earthquake.
It is important to know that the inertial forces which the building undergoes are proportional to the building’s acceleration during ground motion. It is also important to realize that buildings don’t actually shift in only one direction. Because of the complex nature of earthquake ground motion, the building actually tends to vibrate back and forth in varying directions.

Deformation and Damages

In addition to displacing toward the right, the un-isolated building is also shown to be changing its shape-from a rectangle to a parallelogram. It is deforming. The primary cause of earthquake damage to buildings is the deformation which the building undergoes as a result of the inertial forces acting upon it.

Response of Base Isolated Building

By contrast, even though it too is displacing, the base-isolated building retains its original, rectangular shape. It is the lead-rubber bearings supporting the building that are deformed. The base-isolated building itself escapes the deformation and damage–which implies that the inertial forces acting on the base-isolated building have been reduced. Experiments and observations of base-isolated buildings in earthquakes have been shown to reduce building accelerations to as little as 1/4 of the acceleration of comparable fixed-base buildings, which each building undergoes as a percentage of gravity. As we noted above, inertial forces increase, and decrease, proportionally as acceleration increases or decreases.
Acceleration is decreased because the base isolation system lengthens a building’s period of vibration, the time it takes for the building to rock back and forth and then back again. And in general, structures with longer periods of vibration tend to reduce acceleration, while those with shorter periods tend to increase or amplify acceleration.
Finally, since they are highly elastic, the rubber isolation bearings don’t suffer any damage. But the lead plug in the middle of our example bearing experiences the same deformation as the rubber. However, it generates heat. In other words, the lead plug reduces, or dissipates, the energy of motion–i.e., kinetic energy–by converting that energy into heat. And by reducing the energy entering the building, it helps to slow and eventually stop the building’s vibrations sooner than would otherwise be the case–in other words, it damps the building’s vibrations.

Energy Dissipation Devices

The second of the major new techniques for improving the earthquake resistance of buildings also relies upon damping and energy dissipation, but it greatly extends the damping and energy dissipation provided by lead-rubber bearings.
As we’ve said, a certain amount of vibration energy is transferred to the building by earthquake ground motion. Buildings themselves do possess an inherent ability to dissipate, or damp, this energy. However, the capacity of buildings to dissipate energy before they begin to suffer deformation and damage is quite limited. The building will dissipate energy either by undergoing large scale movement or sustaining increased internal strains in elements such as the building’s columns and beams. Both of these eventually result in varying degrees of damage.
So, by equipping a building with additional devices which have high damping capacity, we can greatly decrease the seismic energy entering the building, and thus decrease building damage.
Accordingly, a wide range of energy dissipation devices have been developed and are now being installed in real buildings. Energy dissipation devices are also often called damping devices. The large number of damping devices that have been developed can be grouped into three broad categories:

• Friction Dampers: these utilize frictional forces to dissipate energy
• Metallic Dampers : utilize the deformation of metal elements within the damper
• Viscoelastic Dampers : utilize the controlled shearing of solids
• Viscous Dampers: utilized the forced movement (orificing) of fluids within the damper

Fluid Viscous Dampers

General principles of damping devices are illustrated through Fluid Viscous damper. Following section, describes the basic characteristics of fluid viscous dampers, the process of developing and testing them, and the installation of fluid viscous dampers in an actual building to make it more earthquake resistant.

Damping Devices and Bracing Systems

Damping devices are usually installed as part of bracing systems. Figure 3 shows one type of damper-brace arrangement, with one end attached to a column and one end attached to a floor beam. Primarily, this arrangement provides the column with additional support. Most earthquake ground motion is in a horizontal direction; so, it is a building’s columns which normally undergo the most displacement relative to the motion of the ground. Figure 3 also shows the damping device installed as part of the bracing system and gives some idea of its action.
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Seismic Design Shake Test

                                                                                                                                                      

Seismic design of structures

When we speak of seismic design of structures, we mostly speak of the modern methods.
Two basic technologies are used to protect buildings from damaging earthquake effects. These are Base Isolation Devices and Seismic Dampers.

let us have a detailed idea about the base isolators first.

BASE ISOLATION:
The idea behind base isolation is to detach (isolate) the building from the ground in such a way that earthquake motions are not transmitted up through the building or at least greatly reduced. A base isolated structure is supported by a series of bearing pads, which are placed between the buildings and building foundation. The bearing is very stiff and strong in the vertical direction, but flexible in the horizontal direction.



the closer look at the rubber bearings will be as follows:




A lead–rubber bearing is made from layers of rubber sandwiched together with layers of steel. In the middle of the bearing is a solid lead "plug." On top and bottom, the bearing is fitted with steel plates which are used to attach the bearing to the building and foundation. The bearing is very stiff and strong in the vertical direction, but flexible in the horizontal direction.

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